积分 xn 总结 - 幂次加一，除以新幂次法则
积分是微分的逆运算。回顾微分：对 $ y = x^n $ 求导时，遵循"乘幂次，再减1次幂"（即 $ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $）；而积分作为逆操作，需"加1次幂，再除以新幂次"。
关键关系：导数和积分是互逆运算，理解这种关系有助于掌握积分的基本概念。
若已知导数 \( \frac{dy}{dx} = x^n \)（或 \( f'(x) = x^n \)），且 \( n \neq -1 \)，则原函数为：
其中 \( c \) 称为积分常数（Constant of Integration）。
从导数公式 $ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right) = (n+1) \cdot \frac{1}{n+1}x^{n} = x^n $ 推导得出。
若导数为 \( \frac{dy}{dx} = kx^n \)（或 \( f'(x) = kx^n \)），其中 \( k \) 为常数且 \( n \neq -1 \)，则原函数为：
要点：常数 \( k \) 直接"提取出来"，仅对 \( x^n \) 进行"加幂、除新幂"的操作；积分常数 \( c \) 无需与 \( k \) 相乘。
求 \( \frac{dy}{dx} = 5x^3 \) 的原函数：
\( y = \frac{5}{3+1}x^{3+1} + c = \frac{5}{4}x^4 + c \)
对多项式（多顶式的和/差）积分时，需逐项分别积分，再将结果相加/相减。
求 \( \frac{dy}{dx} = 6x + 2x^{-3} - 3x^{\frac{1}{2}} \) 的原函数：
• \( 6x \) 积分：\( 3x^2 \)
• \( 2x^{-3} \) 积分：\( \frac{2}{-3+1}x^{-3+1} = -x^{-2} \)
• \( -3x^{\frac{1}{2}} \) 积分：\( \frac{-3}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} = -2x^{\frac{3}{2}} \)
结果：\( y = 3x^2 - x^{-2} - 2x^{\frac{3}{2}} + c \)
\( y = x^2 + 5 \)、\( y = x^2 - 3 \)、\( y = x^2 \) 的导数都是 \( y' = 2x \)，但积分时都是 \( \int 2x dx = x^2 + c \)，不同的c对应不同的原函数。
积分 \( x^n \) 是微积分的基础，它为求解更复杂的函数积分提供了基本工具。通过练习可以培养代数运算能力和模式识别能力。
求 \( \int x^3 dx \)，很多学生会写成 \( \frac{1}{3}x^3 + c \)，但正确应该是 \( \frac{1}{4}x^4 + c \)。要记住：幂次加1，除以新幂次。
长远价值：掌握积分 \( x^n \) 是微积分的重要基础，它为求解多项式函数积分提供了基本模式。通过练习可以培养代数运算能力和模式识别能力，为后续学习高等数学做好准备。